Dada La Ecuación Cuadrática: X2 - X - 6 = Y, Halle El Lugar Geométrico
Si eres un estudiante de matemáticas, probablemente te hayas encontrado con la ecuación cuadrática en algún momento. Esta ecuación es importante porque te permite encontrar las raíces de una función cuadrática. Sin embargo, también puedes utilizarla para encontrar el lugar geométrico de la ecuación. En este artículo, te explicaremos cómo hacerlo.
¿Qué es una ecuación cuadrática?
Una ecuación cuadrática es una función matemática de la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son constantes. Esta ecuación tiene dos soluciones, que se pueden encontrar utilizando la fórmula cuadrática. La fórmula cuadrática es:
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
Esta fórmula te permite encontrar las dos raíces de la ecuación. Sin embargo, también puedes utilizarla para encontrar el lugar geométrico de la ecuación.
¿Qué es el lugar geométrico?
El lugar geométrico es la curva que se forma cuando se grafica una ecuación en un plano cartesiano. En el caso de la ecuación cuadrática, el lugar geométrico es una parábola. La parábola es una curva simétrica que se abre hacia arriba o hacia abajo, dependiendo del signo del coeficiente a.
Encontrar el lugar geométrico de la ecuación cuadrática
Para encontrar el lugar geométrico de la ecuación cuadrática x2 - x - 6 = y, primero debes convertirla a la forma canónica. La forma canónica de una ecuación cuadrática es:
y = a(x - h)^2 + k
donde (h, k) es el vértice de la parábola. Para convertir la ecuación a la forma canónica, debes completar el cuadrado. Primero, mueve el término constante a la derecha de la ecuación:
x2 - x = y + 6
A continuación, completa el cuadrado para el término x. Para hacer esto, divide el coeficiente de x por dos y eleva el resultado al cuadrado:
x2 - x + (1/4) = y + 6 + (1/4)
Luego, factoriza el término cuadrático:
(x - (1/2))^2 = y + 25/4
Finalmente, convierte la ecuación a la forma canónica:
y = (x - (1/2))^2 - 25/4
La ecuación ahora está en forma canónica, y el vértice de la parábola es (1/2, -25/4). La parábola se abre hacia arriba porque el coeficiente a es positivo.
Gráfica del lugar geométrico
Para graficar la parábola, debes buscar los puntos en los que la ecuación es cero (es decir, las raíces de la ecuación). Utilizando la fórmula cuadrática, encuentras que las raíces son:
x = (1 ± √25) / 2
x1 = 3
x2 = -2
Los puntos de intersección con el eje x son (3, 0) y (-2, 0). Utilizando el vértice y los puntos de intersección, puedes graficar la parábola. La gráfica se ve así:
Conclusión
En resumen, la ecuación cuadrática es una función importante en matemáticas que te permite encontrar las raíces de una función cuadrática. También puedes utilizarla para encontrar el lugar geométrico de la ecuación, que es una parábola. Para hacerlo, debes convertir la ecuación a la forma canónica y encontrar el vértice de la parábola. Utilizando el vértice y los puntos de intersección con el eje x, puedes graficar la parábola y visualizar el lugar geométrico de la ecuación.
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