Identidades Pitagóricas Ejercicios Resueltos: Lo Que Hay Que Saber En 2023
Las identidades pitagóricas son una parte importante de las matemáticas y son comúnmente utilizadas en la resolución de problemas geométricos y trigonométricos. En este artículo, vamos a explorar ejercicios resueltos para ayudarte a entender mejor las identidades pitagóricas en 2023.
¿Qué Son Las Identidades Pitagóricas?
Las identidades pitagóricas son ecuaciones que relacionan las tres longitudes de un triángulo rectángulo: la hipotenusa y los dos catetos. La más famosa de estas identidades es el teorema de Pitágoras, que establece que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
Además del teorema de Pitágoras, hay otras identidades pitagóricas que se utilizan en la resolución de problemas geométricos y trigonométricos.
Identidades Pitagóricas Adicionales
Además del teorema de Pitágoras, hay otras dos identidades pitagóricas que se utilizan comúnmente:
- Identidad de la Tangente: La tangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es igual a la longitud del cateto opuesto dividido por la longitud del cateto adyacente.
- Identidad de la Secante: La secante de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es igual a la longitud de la hipotenusa dividida por la longitud del cateto adyacente.
Ejercicios Resueltos De Identidades Pitagóricas
Para ayudarte a entender mejor las identidades pitagóricas, aquí hay algunos ejercicios resueltos.
Ejercicio 1
Encuentra la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 cm y 4 cm.
Solución:
Usando el teorema de Pitágoras, tenemos:
c2 = a2 + b2
Donde c es la hipotenusa y a y b son los catetos.
Sustituyendo los valores dados, tenemos:
c2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25
Tomando la raíz cuadrada de ambos lados, obtenemos:
c = 5
Por lo tanto, la longitud de la hipotenusa es de 5 cm.
Ejercicio 2
Encuentra la longitud del cateto opuesto a un ángulo de 30 grados en un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 10 cm.
Solución:
Usando la identidad de la tangente, tenemos:
tan(30) = a/b
Donde a es la longitud del cateto opuesto y b es la longitud del cateto adyacente.
Sustituyendo los valores dados, tenemos:
tan(30) = a/10
Multiplicando ambos lados por 10, obtenemos:
a = 10 tan(30) ≈ 5.77
Por lo tanto, la longitud del cateto opuesto es de aproximadamente 5.77 cm.
Ejercicio 3
Encuentra la longitud del cateto adyacente a un ángulo de 60 grados en un triángulo rectángulo cuyo cateto opuesto mide 5 cm.
Solución:
Usando la identidad de la tangente, tenemos:
tan(60) = b/a
Donde b es la longitud del cateto adyacente y a es la longitud del cateto opuesto.
Sustituyendo los valores dados, tenemos:
tan(60) = b/5
Multiplicando ambos lados por 5, obtenemos:
b = 5 tan(60) ≈ 8.66
Por lo tanto, la longitud del cateto adyacente es de aproximadamente 8.66 cm.
Conclusión
Las identidades pitagóricas son fundamentales en la resolución de problemas geométricos y trigonométricos. Además del teorema de Pitágoras, hay otras identidades pitagóricas que se utilizan comúnmente, como la identidad de la tangente y la identidad de la secante. Esperamos que estos ejercicios resueltos te hayan ayudado a entender mejor las identidades pitagóricas en 2023.
¡Sigue practicando y mejorando tus habilidades matemáticas!
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