Factorización De Polinomios Ejercicios Resueltos
Si estás estudiando álgebra, es probable que hayas estudiado la factorización de polinomios. La factorización de polinomios es un proceso en el que se descompone un polinomio en factores más simples. Aunque puede parecer complicado al principio, con la práctica y la paciencia, puedes aprender a factorizar cualquier polinomio. En este artículo, te presentaremos algunos ejercicios resueltos de factorización de polinomios.
Factorización de polinomios cuadráticos
Comencemos con la factorización de polinomios cuadráticos. Un polinomio cuadrático es un polinomio de segundo grado, es decir, un polinomio con una variable elevada a la segunda potencia. El formato general de un polinomio cuadrático es:
ax² + bx + c
Para factorizar un polinomio cuadrático, necesitamos encontrar dos factores que, cuando se multiplican, den como resultado el polinomio original. Aquí hay un ejemplo:
x² + 5x + 6
En este caso, necesitamos encontrar dos factores que, cuando se multiplican, den como resultado 6 y, cuando se suman, den como resultado 5. Los factores son 2 y 3, ya que 2 x 3 = 6 y 2 + 3 = 5. Por lo tanto, podemos escribir el polinomio original como:
(x + 2)(x + 3)
Veamos otro ejemplo:
x² - 4x - 21
En este caso, necesitamos encontrar dos factores que, cuando se multiplican, den como resultado -21 y, cuando se restan, den como resultado -4. Los factores son -7 y 3, ya que -7 x 3 = -21 y -7 + 3 = -4. Por lo tanto, podemos escribir el polinomio original como:
(x - 7)(x + 3)
Factorización de polinomios cúbicos
Los polinomios cúbicos son polinomios de tercer grado, es decir, polinomios con una variable elevada a la tercera potencia. El formato general de un polinomio cúbico es:
ax³ + bx² + cx + d
Para factorizar un polinomio cúbico, necesitamos encontrar un factor lineal y otro cuadrático que, cuando se multiplican, den como resultado el polinomio original. Aquí hay un ejemplo:
x³ - 6x² + 11x - 6
En este caso, podemos comenzar por buscar los factores de -6, que son -1, 1, -2 y 2. Probando con estos números, podemos encontrar que (x - 1) es un factor del polinomio original. Para encontrar el otro factor, podemos dividir el polinomio original por (x - 1) utilizando la división sintética. Esto nos da:
x³ - 6x² + 11x - 6 = (x - 1)(x² - 5x + 6)
Por lo tanto, podemos escribir el polinomio original como:
(x - 1)(x - 2)(x - 3)
Veamos otro ejemplo:
x³ + 6x² + 11x + 6
En este caso, podemos comenzar por buscar los factores de 6, que son 1, 2, 3 y 6. Probando con estos números, podemos encontrar que (-1) es un factor del polinomio original. Para encontrar el otro factor, podemos dividir el polinomio original por (x + 1) utilizando la división sintética. Esto nos da:
x³ + 6x² + 11x + 6 = (x + 1)(x² + 5x + 6)
Por lo tanto, podemos escribir el polinomio original como:
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
Factorización de polinomios de grado superior
La factorización de polinomios de grado superior puede ser más complicada que la factorización de polinomios cuadráticos y cúbicos. Sin embargo, el proceso es similar. Necesitamos encontrar los factores del término constante y probar diferentes combinaciones hasta que encontremos los factores que den como resultado el polinomio original.
Veamos un ejemplo:
2x⁴ + 3x³ - 19x² - 14x + 24
En este caso, podemos comenzar por buscar los factores de 24, que son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. Probando con estos números, podemos encontrar que 2 es un factor del polinomio original. Para encontrar los otros factores, podemos dividir el polinomio original por 2x - esto nos da:
2x⁴ + 3x³ - 19x² - 14x + 24 = (2x - 1)(x³ + 2x² - 15x - 24)
Para encontrar los factores del segundo término, podemos utilizar la técnica de agrupamiento. Agrupamos los términos de la siguiente manera:
(x³ + 2x²) + (-15x - 24)
Luego, factorizamos el primer grupo de términos:
x²(x + 2)
Factorizamos el segundo grupo de términos:
-3(5x + 8)
Finalmente, podemos escribir el polinomio original como:
2x⁴ + 3x³ - 19x² - 14x + 24 = (2x - 1)(x + 4)(x - 3)(5x + 8)
Conclusión
Factorizar polinomios puede parecer difícil al principio, pero con la práctica y la paciencia, puedes aprender a factorizar cualquier polinomio. En este artículo, te presentamos algunos ejercicios resueltos de factorización de polinomios. Recuerda que la clave para factorizar polinomios es buscar los factores del término constante y probar diferentes combinaciones hasta que encontremos los factores que den como resultado el polinomio original.
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