Dominio Y Rango De Una Función Cuadrática: Ejercicios Resueltos
Si estás estudiando matemáticas, es muy probable que te hayas topado con las funciones cuadráticas. Estas funciones son muy comunes en el ámbito de las ciencias y la ingeniería, por lo que es importante que sepas cómo trabajar con ellas. En este artículo, te mostraremos cómo encontrar el dominio y rango de una función cuadrática a través de ejercicios resueltos.
¿Qué es una función cuadrática?
Antes de empezar a resolver ejercicios, es importante que comprendas qué es una función cuadrática. Una función cuadrática es aquella en la que la variable independiente (x) está elevada al cuadrado. Su forma general es:
f(x) = ax^2 + bx + c
Donde a, b y c son constantes. La gráfica de una función cuadrática es una parábola que puede abrir hacia arriba o hacia abajo, dependiendo del valor de a.
¿Qué es el dominio de una función?
El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente (x) sin que la función se vuelva indefinida. En otras palabras, es el conjunto de valores para los cuales la función está definida.
En el caso de las funciones cuadráticas, el dominio es todo el conjunto de números reales. Esto se debe a que no existen valores de x para los cuales la función se vuelva indefinida.
¿Qué es el rango de una función?
El rango de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente (y) a partir de los valores del dominio. Es decir, es el conjunto de valores que la función puede producir.
Para encontrar el rango de una función cuadrática, es necesario analizar la concavidad de la parábola. Si la parábola abre hacia arriba, el rango mínimo es el valor de la coordenada del vértice. Si la parábola abre hacia abajo, el rango máximo es el valor de la coordenada del vértice.
Ejercicio 1
Encuentra el dominio y rango de la función cuadrática:
f(x) = 2x^2 - 4x + 1
Primero, analicemos la concavidad de la parábola. Como el coeficiente de x^2 es positivo, sabemos que la parábola abre hacia arriba.
Para encontrar el vértice de la parábola, podemos utilizar la siguiente fórmula:
x = -b/2a
En este caso, a=2 y b=-4, por lo que:
x = -(-4) / 2(2) = 1
Por lo tanto, el vértice de la parábola es (1, -1).
El dominio de la función es todo el conjunto de números reales.
Para encontrar el rango de la función, podemos utilizar el valor de la coordenada y del vértice. En este caso, el rango mínimo es -1.
Ejercicio 2
Encuentra el dominio y rango de la función cuadrática:
f(x) = -3x^2 + 6x - 2
En este caso, el coeficiente de x^2 es negativo, por lo que sabemos que la parábola abre hacia abajo.
Utilizando la fórmula para encontrar el vértice, obtenemos:
x = -b/2a = -6/-6 = 1
Por lo tanto, el vértice de la parábola es (1, 1).
El dominio de la función es todo el conjunto de números reales.
El rango máximo de la función es 1.
Ejercicio 3
Encuentra el dominio y rango de la función cuadrática:
f(x) = x^2 + 4x + 5
En este caso, el coeficiente de x^2 es positivo, por lo que la parábola abre hacia arriba.
Utilizando la fórmula para encontrar el vértice, obtenemos:
x = -b/2a = -4/2 = -2
Sustituyendo este valor en la función, obtenemos:
f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 5 = 1
Por lo tanto, el vértice de la parábola es (-2, 1).
El dominio de la función es todo el conjunto de números reales.
El rango mínimo de la función es 1.
Ejercicio 4
Encuentra el dominio y rango de la función cuadrática:
f(x) = -2x^2 + 8x - 6
En este caso, el coeficiente de x^2 es negativo, por lo que la parábola abre hacia abajo.
Utilizando la fórmula para encontrar el vértice, obtenemos:
x = -b/2a = -8/-4 = 2
Sustituyendo este valor en la función, obtenemos:
f(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 6 = 2
Por lo tanto, el vértice de la parábola es (2, 2).
El dominio de la función es todo el conjunto de números reales.
El rango máximo de la función es 2.
Ejercicio 5
Encuentra el dominio y rango de la función cuadrática:
f(x) = x^2 - 6x + 9
En este caso, el coeficiente de x^2 es positivo, por lo que la parábola abre hacia arriba.
Utilizando la fórmula para encontrar el vértice, obtenemos:
x = -b/2a = 6/2 = 3
Sustituyendo este valor en la función, obtenemos:
f(3) = (3)^2 - 6(3) + 9 = 0
Por lo tanto, el vértice de la parábola es (3, 0).
El dominio de la función es todo el conjunto de números reales.
El rango mínimo de la función es 0.
Conclusión
En este artículo, hemos visto cómo encontrar el dominio y rango de una función cuadrática a través de ejercicios resueltos. Recuerda que el dominio de una función cuadrática es todo el conjunto de números reales y que el rango depende de la concavidad de la parábola. Esperamos que esta información te sea útil en tus estudios de matemáticas.
No olvides practicar estos ejercicios y otros similares para mejorar tus habilidades en el ámbito de las funciones cuadráticas.
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