Problemas Resueltos De Progresiones Aritméticas
Si eres estudiante de matemáticas, es muy probable que hayas estudiado las progresiones aritméticas en algún momento. Una progresión aritmética es una secuencia de números en la que cada término se obtiene sumando una constante (llamada diferencia) al término anterior. Aunque las progresiones aritméticas son relativamente sencillas de comprender, resolver problemas que involucran este tipo de secuencias puede ser un desafío. En este artículo, te mostraremos algunos problemas resueltos de progresiones aritméticas para que puedas mejorar tus habilidades en matemáticas.
Problema 1
Supongamos que la suma de los primeros 10 términos de una progresión aritmética es 150 y el tercer término es 20. ¿Cuál es el primer término y cuál es la diferencia?
Para resolver este problema, utilizaremos la fórmula para la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética:
S_n = n/2(2a + (n-1)d)
Donde S_n es la suma de los primeros n términos, a es el primer término y d es la diferencia. Sabemos que S_10 = 150, así que podemos escribir:
150 = 10/2(2a + 9d)
Despejando a, obtenemos:
a = (150 - 45d)/2
También sabemos que el tercer término es 20, lo que significa que:
a + 2d = 20
Sustituyendo a en esta ecuación, obtenemos:
(150 - 45d)/2 + 2d = 20
Resolviendo para d, obtenemos:
d = 5
Sustituyendo d en la ecuación para a, obtenemos:
a = 10
Por lo tanto, el primer término es 10 y la diferencia es 5.
Problema 2
Una progresión aritmética tiene un primer término de 4 y una diferencia de 3. ¿Cuál es el valor de n si la suma de los primeros n términos es 100?
Para resolver este problema, utilizaremos la misma fórmula que en el problema anterior:
S_n = n/2(2a + (n-1)d)
En este caso, sabemos que a = 4 y d = 3. Queremos encontrar n cuando S_n = 100. Escribimos:
100 = n/2(2(4) + (n-1)(3))
Simplificando:
100 = n/2(2n + 10)
Dividiendo ambos lados por 5:
20 = n/2(n + 5)
Multiplicando ambos lados por 2(n+5):
40 + 10n = n^2 + 5n
Reorganizando:
n^2 - 5n - 40 = 0
Resolviendo para n, obtenemos:
n = 8 o n = -5
Como n debe ser un número positivo, la respuesta es n = 8. Por lo tanto, la suma de los primeros 8 términos de esta progresión aritmética es 100.
Problema 3
Una progresión aritmética tiene un primer término de 2 y una diferencia de -1/2. ¿Cuál es el valor de n si la suma de los primeros n términos es 1?
Usando la fórmula de la suma de los primeros n términos, escribimos:
1 = n/2(2(2) + (n-1)(-1/2))
Simplificando:
1 = n(2 - 1/2n)
Resolviendo para n:
2n - 1/2n^2 = 1
n^2 - 4n + 4 = 0
Resolviendo para n, obtenemos:
n = 2
Por lo tanto, la suma de los primeros 2 términos de esta progresión aritmética es 1.
Problema 4
En una progresión aritmética, el primer término es 1 y la suma de los primeros 20 términos es 510. ¿Cuál es la diferencia?
Usando la fórmula de la suma de los primeros n términos, escribimos:
510 = 20/2(2(1) + (20-1)d)
Simplificando:
510 = 10(21 + 19d)
Dividiendo ambos lados por 10:
51 = 21 + 19d
Resolviendo para d, obtenemos:
d = 1
Por lo tanto, la diferencia es 1.
Problema 5
En una progresión aritmética, el primer término es 3 y la diferencia es 4. ¿Cuántos términos hay que sumar para obtener una suma de al menos 100?
Usando la fórmula de la suma de los primeros n términos, escribimos:
S_n = n/2(2a + (n-1)d)
En este caso, a = 3 y d = 4. Queremos encontrar el valor de n cuando la suma de los primeros n términos es al menos 100. Escribimos:
100 ≤ n/2(2(3) + (n-1)(4))
Simplificando:
100 ≤ n/2(4n - 2)
Multiplicando ambos lados por 2:
200 ≤ n(2n - 1)
Resolviendo para n, obtenemos:
n ≥ 10
Por lo tanto, debemos sumar al menos 10 términos para obtener una suma de al menos 100.
Problema 6
Una progresión aritmética tiene un primer término de 5 y una diferencia de -3. ¿Cuál es el valor de n si la suma de los primeros n términos es -44?
Usando la fórmula de la suma de los primeros n términos, escribimos:
-44 = n/2(2(5) + (n-1)(-3))
Simplificando:
-44 = n(4 - 3n)
Resolviendo para n, obtenemos:
n^2 - 4n - 44 = 0
n = 2 o n = -22
Como n debe ser un número positivo, la respuesta es n = 2. Por lo tanto, la suma de los primeros 2 términos de esta progresión aritmética es -44.
Problema 7
En una progresión aritmética, el primer término es 10 y la diferencia es 2. ¿Cuál es el valor de n si la suma de los primeros n términos es igual a la suma de los términos del 10 al 20?
La suma de los términos del 10 al 20 es:
11/2(2(10) + (11-1)(2)) = 220
Usando la fórmula de la suma de los primeros n términos, escribimos:
n/2(2(10) + (n-1)(2)) = 220
Simplificando:
n^2 + 18n - 880 = 0
Resolviendo para n, obtenemos:
n = 20 o n = -38
Como n debe ser un número positivo, la respuesta es n
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